フィボナッチ数

岐阜聖徳学園大学経済情報学部教授　齊藤善弘

　みなさんは授業などで、数の並び　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...を目にしたことがあるのではないでしょうか。最初の2つの数を除いて、それ以降の数はすべてその前の2つの数の和となっています。これは「フィボナッチ数」と呼ばれ、自然界に数多く現れるとても神秘的な数です。

　「フィボナッチ数」は今から約800年前のイタリアの数学者レオナルド・フィボナッチ（レオナルド・ピサノ）の著書『計算の書(Liber Abaci)』に「ウサギの問題（ウサギのつがいの数の増加）」として出てきます。『計算の書』を通じて、アラビア数字（インド・アラビア数字）とその計算法がヨーロッパに紹介され、今日に至っています。『計算の書』はラテン語で書かれており、1202年に第1版、1227年に第2版が発表されています。第1版は現存しませんが、第2版の写本があり、現在、バルダッサーレ・ボンコンパーニ（Baldassarre Boncompagni)による編集本（1857-1862）で接することができます。

　ここでフィボナッチ数に似た数を紹介します。フィボナッチ数は２つの数の和でしたが、3つの数の和を考えます。この数の並びはトリボナッチ数と呼ばれています。その前に、準備としてフィボナッチ数を次のように先頭に0を書き加えて0番目とします。0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...先頭の0を0番目としたので1番目からのフィボナッチ数に変わりはありません。

　トリボナッチ数は次のようにしてつくります。まず、0番目に0、1番目に0、2番目に1と並べます（0番目から2番目まですべて１とする場合もあります）。これらの３つの数の和は１となるので、3番目に１と書き加えます。4番目はその前の3つの数の和、つまり0、1、1の和、２となります。この計算を繰り返しますと、0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, ．．．と数が並び、トリボナッチ数をつくることができます。

　フィボナッチ数やトリボナッチ数のつくり方をこのように説明したのはプログラミングの練習として使えるからです。プログラミングに関心がある人はプログラムを作成し、フィボナッチ数やトリボナッチ数をコンピュータで求めてみてください。筆算より速く、しかも正確に求めることができるはずです。(2021年5月23日岐阜新聞掲載)

　最後に計算問題を2問出題します。

問１　フィボナッチ数の20番目の数はいくつでしょう。　問２　トリボナッチ数の12番目の数はいくつでしょう。

答え　 問1：6765 問２：274